En af de vigtigste betingelser når der arbejdes med tidseriedata er stationaritetsbetingelsen. Men hvad betyder det?
Inden vi dykker længere ned de i formelle definitioner af stationaritet og de tilhørende begreber, som antagelsen bygger på, er det værd at overveje, hvorfor begrebet stationaritet er vigtigt i tidsserieanalyse og dens forskellige anvendelser.
Intuitivt betyder stationaritet, at de statistiske egenskaber ved en proces Y, der genererer en tidsserie, ikke ændres over tid. Det er vigtigt, at man forstår, at det ikke betyder, at serien ikke ændres over tid, men at det betyder at den måde den ændrer sig, ikke ændrer sig over tid. Den algebraiske ækvivalent er således en lineær funktion.
Men hvorfor er dette vigtigt? For det første fordi stationære processer er nemmere at analysere når der skal modelleres komplekse tidsseriedata. Desuden giver stationaritetsegenskaberne mulighed for brug af en række metoder og værktøjer i tidsserieanalyse. Disse omfatter blandt andet trendberegning, fremskrivninger og kausalitetsanalyse.
Nu da vi forhåbenlig har overbevist dig om hvorfor stationaritetsantagelsen spiller en vigtig rolle i tidsserieanalyse, vil dykke dybere ned i implikationerne og dermed brugen er af.
Typer af stationaritet
Stærk stationaritet
Stærk stationaritet kræver, at processen er invariant–skift i alle tre momenter over tid. Det betyder, at fordelingen af en endelig sekvens af tilfældige variabler af den stokastiske proces forbliver den samme langs tidsindeksaksen. For eksempel er alle IID (Identisk og uafhængigt fordelt) stokastiske processer stationære. Dette er den mest almindelige definition af stationaritet, og det betegnes almindeligvis blot som stationaritet.
Svag stationaritet
Svag stationaritet er ikke en lige streng betingelse som stærk stationaritet. Svag stationaritet kræver kun invariant-skift over tid i første og andet moment. Dvs. $latex E[Y_t]=\mu $ og $latex Var[Y_t]=\gamma_0$ for alle t. Dette betyder, at processen har samme gennemsnit på alle tidspunkter, og at kovariansen mellem værdierne ved en hvilken som helst to tidspunkter, t og t-k kun afhænger af k, altså $latex Cov(Y_t,Y_{t+k})=\gamma_k$ for alle k\geq 1$. Denne type stationaritet kaldes også kovarians-stationarit.
Som udgangspunkt kan en model fint bygges op omkring antagelsen som svag stationaritet
Brud på stationaritetsantagelsen
- Trend stationaritet (A)
- Niveau skift (B)
- Ændringer i variansen (C)
- Enhedsrødder (stokastiske trends) (D)
Antag at $Z_t$ er staionær og at $Y_t$ er $Z_t$ plus en determinisk linæer trend: $Z_t=\theta Z_{t-1}+\epsison_t, |\theta|<1$ og $Y_t=Z_t+\mu_0+\mu_1t$.
(A) Trend stationaritet
De fleste makro-økonomiske variabler følger en trend. Men hvordan modelleres disse? Ved at fratrække den konstante udvikling fra processen $Y_t$ kan processen gøres staionær. Dette er altså ækvivalent til at udvide regressionen med en deterministisk trend: $Y_t=\beta_0+\beta_1 X_t+\beta_3t+\epsilon_t$.
(B) Niveau skifte
En anden type af ikke-stationaritet skyldes ændringer i parameterne; niveau skifte.
$E\left(y_{t}\right)=\left{\begin{array}{ll}{\mu_{1}} & {\text { for } t=1,2, \ldots, T_{0}} \ {\mu_{2}} & {\text { for } t=T_{0}+1, T_{0}+2, \ldots, T}\end{array}\right.$ Dette kan løses ved at inkludere en dummy i regressionen og derved isolere effekten af et niveu skifte.
(C) Ændringer i variansen
En tredje årsag til ikke-stationaritet skyldes ændringer i variansen. Tag f.eks. processen: $y_{t}=0.5 \cdot y_{t-1}+\epsilon_{t}$, hvor $\epsilon_{t} \sim \left{\begin{array}{ll}{N(0,1)} & {\text { for } t=1,2, \ldots, T_{0}} \ {N(0,5)} & {\text { for } t=T_{0}+1, T_{0}+2, \ldots, T}\end{array}\right$. Dette kan f.eks. skyldes en politisk ændring mm. Løsningen er at modellere de to forskellige udviklinger seperat. Et alternativ er at modellere variansen seperat via en såkaldt ARCH model.
Skriv et svar